ar.falsy.cat/content/note/word-play/two-lolita-devils-and-chess-board.md
2023-04-23 01:17:17 +09:00

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title: 2人の幼女と悪魔とチェス盤
tags: [note, word-play]
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## 概要
- 「2人の幼女とチェス盤の部屋」という次のような論理問題を解説する
- 以下の手順の後幼女Bが任意の整数$x\left(0\leq x<64\right)$を求められるようにするには幼女Aはどのような操作を行うべきか
1. 悪魔が8x8チェス盤の各マスに1個ずつ合計0個以上64個以下のポーンをランダムに配置する
2. 悪魔は幼女Aにチェス盤を見せ任意の数字$x\left(0\leq x<64\right)$を伝える
3. 幼女Aはチェス盤に対して次のいずれかの操作のうち可能であるものを1回だけ必ず行う
- 任意のマスからポーンを1個だけ取り除く
- 任意のマスにポーンを1個だけ追加する
4. 悪魔は幼女Bにチェス盤を見せる
## 問題の簡潔化
- $f(g(b,x))=x$とできるような写像$f,g$を求めよ
- $B=\left\\{0,1\right\\}$
- $b\in B^{64}$
- $x\in B^6$
- $f: B^{64} \rightarrow B^6$
- $g: B^{64} \times B^6\rightarrow B^{64}$
- $b$$g(b,x)$は1ビットだけ異なる
## 解答
- $f(b)=f_0\oplus f_1\oplus f_2 \oplus \dots \oplus f_{63} \quad\left(f_i=i b_i\right)$
- $b'=g(b,x) \implies b'_m \neq b_m\quad\left(m=x\oplus f(b)\right)$
- [チェス盤が16x16の場合のプログラム](https://wandbox.org/permlink/XLo1pGURvrU4Y4Jj)
## 解説
- $x=f(b)\oplus m$となるような$m\in B^6$は必ず存在する
- 盤面の各マスに$m$の値を割り当てることで1マスの操作だけで$m$を表現できる
- 盤面のマス目の数も$m$がとりうる値の数も64
- $f(g(b,x))=f(b)\oplus m=f(b)\oplus f\_m\oplus m(1-b\_m)$
## 応用
- 長さ$2^N$の任意のビット列について任意の1ビットだけを反転させることで長さ$N$のビット列を表現できる
## 参考文献
- [# 超難問論理クイズ「2人の幼女とチェス盤の部屋」が本当に難しすぎた - 明日は未来だ!](https://sist8.com/chess2you)
- [幼女問題まとめ - GItHub Gist](https://gist.github.com/catupper/5678658)
- [Impossible Escape? - DataGenetics](http://datagenetics.com/blog/december12014/index.html)