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2023-04-23 01:17:17 +09:00

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2人の幼女と悪魔とチェス盤
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概要

  • 「2人の幼女とチェス盤の部屋」という次のような論理問題を解説する
    • 以下の手順の後幼女Bが任意の整数$x\left(0\leq x<64\right)$を求められるようにするには幼女Aはどのような操作を行うべきか
      1. 悪魔が8x8チェス盤の各マスに1個ずつ合計0個以上64個以下のポーンをランダムに配置する
      2. 悪魔は幼女Aにチェス盤を見せ任意の数字$x\left(0\leq x<64\right)$を伝える
      3. 幼女Aはチェス盤に対して次のいずれかの操作のうち可能であるものを1回だけ必ず行う
        • 任意のマスからポーンを1個だけ取り除く
        • 任意のマスにポーンを1個だけ追加する
      4. 悪魔は幼女Bにチェス盤を見せる

問題の簡潔化

  • $f(g(b,x))=x$とできるような写像$f,g$を求めよ
    • B=\left\\{0,1\right\\}
    • b\in B^{64}
    • x\in B^6
    • f: B^{64} \rightarrow B^6
    • g: B^{64} \times B^6\rightarrow B^{64}
      • $b$と$g(b,x)$は1ビットだけ異なる

解答

解説

  • $x=f(b)\oplus m$となるような$m\in B^6$は必ず存在する
  • 盤面の各マスに$m$の値を割り当てることで1マスの操作だけで$m$を表現できる
    • 盤面のマス目の数も,$m$がとりうる値の数も64
    • f(g(b,x))=f(b)\oplus m=f(b)\oplus f\_m\oplus m(1-b\_m)

応用

  • 長さ$2^N$の任意のビット列について任意の1ビットだけを反転させることで長さ$N$のビット列を表現できる

参考文献