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title: 2人の幼女と悪魔とチェス盤
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tags: [note, word-play]
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## 概要
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- 「2人の幼女とチェス盤の部屋」という次のような論理問題を解説する
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- 以下の手順の後，幼女Bが任意の整数$x\left(0\leq x<64\right)$を求められるようにするには，幼女Aはどのような操作を行うべきか
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1. 悪魔が8x8チェス盤の各マスに1個ずつ，合計0個以上64個以下のポーンをランダムに配置する
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2. 悪魔は幼女Aにチェス盤を見せ，任意の数字$x\left(0\leq x<64\right)$を伝える
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3. 幼女Aは，チェス盤に対して次のいずれかの操作のうち可能であるものを1回だけ必ず行う
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- 任意のマスからポーンを1個だけ取り除く
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- 任意のマスにポーンを1個だけ追加する
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4. 悪魔は幼女Bにチェス盤を見せる
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## 問題の簡潔化
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- $f(g(b,x))=x$とできるような写像$f,g$を求めよ
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- $B=\left\\{0,1\right\\}$
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- $b\in B^{64}$
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- $x\in B^6$
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- $f: B^{64} \rightarrow B^6$
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- $g: B^{64} \times B^6\rightarrow B^{64}$
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- $b$と$g(b,x)$は1ビットだけ異なる
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## 解答
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- $f(b)=f_0\oplus f_1\oplus f_2 \oplus \dots \oplus f_{63} \quad\left(f_i=i b_i\right)$
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- $b'=g(b,x) \implies b'_m \neq b_m\quad\left(m=x\oplus f(b)\right)$
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- [チェス盤が16x16の場合のプログラム](https://wandbox.org/permlink/XLo1pGURvrU4Y4Jj)
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## 解説
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- $x=f(b)\oplus m$となるような$m\in B^6$は必ず存在する
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- 盤面の各マスに$m$の値を割り当てることで，1マスの操作だけで$m$を表現できる
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- 盤面のマス目の数も，$m$がとりうる値の数も64
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- $f(g(b,x))=f(b)\oplus m=f(b)\oplus f\_m\oplus m(1-b\_m)$
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## 応用
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- 長さ$2^N$の任意のビット列について，任意の1ビットだけを反転させることで，長さ$N$のビット列を表現できる
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## 参考文献
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- [# 超難問論理クイズ「2人の幼女とチェス盤の部屋」が本当に難しすぎた - 明日は未来だ！](https://sist8.com/chess2you)
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- [幼女問題まとめ - GItHub Gist](https://gist.github.com/catupper/5678658)
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- [Impossible Escape? - DataGenetics](http://datagenetics.com/blog/december12014/index.html) |