2人の幼女と悪魔とチェス盤
# 概要
- 「2人の幼女とチェス盤の部屋」という次のような論理問題を解説する
- 以下の手順の後，幼女Bが任意の整数$x\left(0\leq x<64\right)$を求められるようにするには，幼女Aはどのような操作を行うべきか
- 悪魔が8x8チェス盤の各マスに1個ずつ，合計0個以上64個以下のポーンをランダムに配置する
- 悪魔は幼女Aにチェス盤を見せ，任意の数字$x\left(0\leq x<64\right)$を伝える
- 幼女Aは，チェス盤に対して次のいずれかの操作のうち可能であるものを1回だけ必ず行う
- 任意のマスからポーンを1個だけ取り除く
- 任意のマスにポーンを1個だけ追加する
- 悪魔は幼女Bにチェス盤を見せる
- 以下の手順の後，幼女Bが任意の整数$x\left(0\leq x<64\right)$を求められるようにするには，幼女Aはどのような操作を行うべきか
# 問題の簡潔化
- $f(g(b,x))=x$とできるような写像$f,g$を求めよ
- $B=\left\{0,1\right\}$
- $b\in B^{64}$
- $x\in B^6$
- $f: B^{64} \rightarrow B^6$
- $g: \left<B^{64}, B^6\right>\rightarrow B^{64}$
- $b$と$g(b,x)$は1ビットだけ異なる
# 解答
- $f(b)=f_0\oplus f_1\oplus f_2 \oplus \dots \oplus f_{63} \quad\left(f_i=i b_i\right)$
- $b’=g(b,x) \implies b’_m \neq b_m\quad\left(m=x\oplus f(b)\right)$
- チェス盤が16x16の場合のプログラム
# 解説
- $x=f(b)\oplus m$となるような$m\in B^6$は必ず存在する
- 盤面の各マスに$m$の値を割り当てることで，1マスの操作だけで$m$を表現できる
- 盤面のマス目の数も，$m$がとりうる値の数も64
- $f(g(b,x))=f(b)\oplus m=f(b)\oplus f_m\oplus m(1-b_m)$
# 応用
- 長さ$2^{2^N}$の任意のビット列について，任意の1ビットだけを反転させることで，長さ$2^N$のビット列を表現できる